Ecuaciones de primer grado

Una expresión algebraica es toda combinación de variables y números relacionados mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división... Cuando dos expresiones numéricas o algebraicas se relacionan entre sí mediante el signo igual, se denomina igualdad.

Cuando la igualdad se verifica siempre cualquiera que sea el valor numérico de las letras o las variables, como ocurre en el ejemplo anterior, se denomina identidad. Si la igualdad se cumple sólo para algunos valores de las letras o las variables, la igualdad se denomina ecuación. Un ejemplo:

La expresión anterior se verifica sólo cuando x=5. Cualquier otro valor atribuido a la variable x no cumple la igualdad. Se trata, por tanto, de una ecuación. También es ecuación la igualdad:

La resolución de ecuaciones, es decir, el cálculo de las variables o incógnitas que hacen válida la igualdad, permite encontrar la solución de una enorme cantidad de problemas científicos o de la vida cotidiana.

Encontrar la solución a un problema planteado mediante una ecuación, o sistema de ecuaciones, se fundamenta sobre la idea de ecuación equivalente. Se denominan ecuaciones equivalentes a aquellas que tiene la misma solución final para sus incógnitas:

La Ecuación 1 y la Ecuación 2 que se cumplen para el mismo valor de x son equivalentes.

Partiendo de la idea de equivalencia entre ecuaciones, se recurre a la aplicación de algunos teoremas básicos que facilitan el cálculo de las soluciones buscadas.

Teorema I: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma un mismo número o expresión, se obtiene otra ecuación equivalente.

En la práctica, se puede pasar cualquier término de una ecuación de un miembro a otro con la única condición de cambiarle el signo. Es la operación denominada transposición de términos.

Teorema II: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número o expresión, se obtiene otra ecuación equivalente.

En la práctica, este teorema permite eliminar denominadores y despejar incógnitas: Todo denominador desaparece si se multiplica por él resto de los términos de la ecuación[1]. Todo coeficiente que multiplica, divide al cambiar de miembro.

Resolución de ecuaciones simples

La solución de problemas de ecuaciones requiere de la formulación de un modelo numérico que refleje, mediante la combinación adecuada de los datos conocidos y desconocidos buscados (incógnitas), en un conjunto de operaciones numéricas e igualdades cuyo cálculo suministrará la información buscada. Es lo que se conoce como Planteamiento del Problema. Una vez planteada correctamente la cuestión, la solución se alcanza fácilmente actuando con rigor y método.

Ejemplo:

Se busca un número tal cuya suma con el triple de otro número menor que él en cuatro unidades, sea igual a la mitad de su cuádruplo menos dos.

Datos e incógnitas:

Número buscado = x

Número menor en cuatro unidades = x-4

Triple del número menor= 3(x-4)

Suma de ambos números= x+ 3(x-4)

Cuádruplo del número buscado = 4x

Planteando la ecuación acuerdo con los datos anteriores:

Eliminando paréntesis:

Suprimiendo los denominadores:

Transponiendo términos:

8x - 4x = -4 + 24

4x = 20

Despejando la incógnita:

Sistemas de ecuaciones simples

Para encontrar la solución de un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas se pueden seguir tres procedimientos diferentes que llegan a la misma conclusión.

Método de sustitución:

Ejemplo:

5x - 2y = 11

3x - y = 7

Paso 1. Se despeja una de las incógnitas en una ecuación:

5x - 2y = 11

5x = 11 + 2y

Paso 2. Se sustituye la misma incógnita en la segunda ecuación por la expresión obtenida. Se resuelve la nueva ecuación.

3x - y = 7

...y se calcula el valor de y

33 + 6y - 5y = 35

y = 35 - 33 = 2

Paso 3. Se calcula la incógnita despejada en el Paso 1, conocido el valor de la segunda.

Método de igualación:

Ejemplo:

5x - 2y = 11

3x - y = 7

Paso 1. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones:

Ecuación 1 (Calculada también en el epígrafe anterior)

5x - 2y = 11

5x = 11 + 2y

Ecuación 2

3x - y = 7

3x = 7 + y

Paso 2. Se igualan las dos expresiones finales obtenidas:

...y se calcula el valor de y

6y - 5y = 35 - 33

y = 2

Paso 3. Se calcula el valor de la primera incógnita a partir de cualquiera de las expresiones que la despejan.

Método de reducción:

Ejemplo:

5x - 2y = 11

3x - y = 7

Paso 1. Incógnita 1 - Se multiplica los dos miembros de cada ecuación por el coeficiente que acompaña a la incógnita en la otra:

Ecuación 1

3(5x - 2y) = 3 · 11

15 x - 6y = 33

Ecuación 2

5(3x - y) = 5 · 7

15 x - 5 y = 35

Restando ambas expresiones

15 x - 6y = 33

15 x - 5 y = 35

y = 2

Paso 2. Incógnita 2 - Se sustituye y despeja en cualquiera de las expresiones.

x=3

[1] Muy importante: Si en la ecuación hay dos o más denominadores todos los términos se multiplicarán por el m.c.m. de los denominadores

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